Skip to content

Süreklilik ve Limit

kategorisi Genel

Okula başladığımız gibi okuma-yazmayı, dört işlemi öğreniriz. Bunlar, öğrenmeye en çok ihtiyaç duyduğumuz şeylerdir. Bu "günlük yaşamda hayatta kalmak için öğrenmesi zorunlu olanlar" listesine bir konunun daha konulması gerektiğini düşünüyorum: süreklilik.

Süreklilik, matematikten bir terimdir. Ama bunun yerine matematik arkaplanından gelen bir kavram demeyi tercih ederim. Newton ve Leibniz tarafından kalkülüs geliştirilirken "keşfedilmiş", bundan dolayı türev-integral kavramlarıyla beraber anılmaya mahkum kalmıştır. Çok büyük bir sorun olduğunu söyleyemem, ama lisedeki eğitimde direk bu konulara atlandığı için sürekliliğin çok üstünde durulmaz. Peki, nedir bu süreklilik?

Orijinal tanımı muhtemelen daha farklı olsa da, ben şu şekilde düşünmeyi tercih ediyorum: "Bir değişkende yapılan küçük değişiklikler, diğer değişkinliklerde bu değişkene oranlı küçük değişikliklere yol açar.". Süreklilik kavramı her yerde geçerli değildir, mesela bir satranç tahtasında bir piyonun bir kare yer değiştirmesi büyük farklara yol açabilir. Sürekliliği anlamamdan bu yana daima benimle gezen bir bilgi var, hatta bunu "hayatın yazılmamış kuralı" olarak görüyorum: Dünyada her şey süreklidir.

Günde 6 saat uyuyunca uykusuzluktan verimsiz çalışıyorsanız, 8 saat uyuyunca ise çok iyi verim alıyorsanız, bu iki saat arasında bir yerlerde ortalama verim alacağınız bir uyku süresi vardır. Su 5 derecede çok az, 95 derecede çok fazla buharlaşıyorsa 40 derecede bu ikisinin arasında bir hızda buharlaşır. Bu şekilde sayısız örnek verebiliriz. Fiziksel dünyadaki neredeyse her şeyin sürekli olduğunu kabul edebiliriz, ama bunu zihinsel dünyaya, analiz ve planlamalara da genişletmek istiyorum.

Satrançta maça bir piyonunuz eksik başlarsanız, ona oranlı bir dezavantajla oynarsınız. Bir futbol takımında maçın kazanılmasını sağlayan, gelen topların hepsini tutan kaleci değildir. Her oyuncunun, kalecininki en yüksek olmakla beraber, gollerin engellenmesinde payları vardır. Bir maç kaybedildiğinde, kaybedilmesine tek kişi sebep olmamıştır. Yine de insanlar böyleymiş gibi konuşabilirler. Bunun sebebi, beynimizin bizi böyle düşünmeye iten yapılanması olduğu kadar, dilimizdeki kelimelerin kendimizi böyle ifade etmeye itmesi de etkilidir. Birisi "şu kişi yüzünden kaybettik" dediği zaman bütün hatanın onda mı gördüğünü, yoksa o kişinin en çok hata payına mı sahip olduğunu düşündüğünü anlamak imkansızdır.

Bu dediklerim birçoğunuza bariz gelebilir, ama bazen insanlar konuşurken sürekliliği benimseyerek düşünmediklerini fark ederim. Buna müdahale edemeyeceğimi düşünüp susarım genelde, çünkü sürekliliği ne anlaması, ne de anlatması kolaydır. Genelde "hiçbir şey ya 0 ya 1 değildir" ya da "hiçbir şey mükemmel iyi ve mükemmel kötü değildir" cümlelerini kullanırım ama daha iyi bir cümlenin mümkün olduğunu düşünüyorum. Önerileriniz varsa belirtmenizi isterim.

Yeri gelmişken limitten de bahsedelim öyleyse. Aslında süreklilik kavramını anladığınız sürece limiti anlamak çocuk oyuncağıdır. Onu da şöyle tanımlıyorum: "eğer bir işi yaparken belirli sonuçlar oluşuyorsa, o işi mükemmel düzeyde yaparsanız sonuçlar da mükemmel olur". Hızınız artınca kinetik enerjiniz artıyorsa, ışık hızında gittiğiniz zaman kinetik enerjiniz maksimum olur. Bir ürünün fiyatı azaldıkça ondan daha fazla alıyorsanız, ürün bedava olunca ondan sayısız miktarda alırsınız.

Limit kavramı, çevrenizdeki anlamakta zorlandığınız bazı şeyleri anlamanızı oldukça kolaylaştırabilir. Bir değişken arttığı zaman diğerinin arttığını mı azaldığını mı anlamak istiyorsanız, uçuk senaryolarda ne olacağını gözden geçirin ve buna göre karar verin. Yine de limitlere bakarken dikkat etmek lazımdır, bazen değişkenler yolun yarısındayken seyir değiştirebilir. Mesela çan eğrisi senaryolarında uç noktaları düşünerek yanlış yargılara verebilirsiniz.

Maymunlara bir test yapılıyor. Testte ekranda çıkan butona göre belirli butonlara basıyorlar ve doğru butonlara basarlarsa bir ödül alıyorlar. Maymunlar, butonlara basarken ödül alacaklarını anladıkları için beyinlerinde dopamin salgılanması meydana geliyor ve bu salgılanma miktarları ölçülüyor. Maymunlar butonlara basmakta uzman düzeye geliyorlar ve artık deney birazcık değiştiriliyor: butonlar daima ödül vermek yerine, %90 şansla ödül verip %10 şansla hiçbir şey vermeyecekler. Ödül şansı %90 olunca dopamin salgılanma miktarının azalması gerektiğini düşünürüz başlarda, çünkü maymun hiç ödül almıyor olsaydı hiç dopamin salgılamazdı, bundan dolayı dopamin salgısının ödül verme olasılığına göre azalması gerekir. Ama böyle olmuyor, maymunlar daha fazla dopamin salgılıyorlar. Dopamin salgılanma miktarı, ödül şansı %50'ye gelene kadar artıyor, %50'de zirve yapıyor ve şans azaldıkça düşmeye başlıyor. Aslında baştaki tahminimiz doğruydu, ödül şansı azaldıkça dopamin salgılanması azaldı, ancak bunun geçerli olduğu aralık tahminimizden daha kısıtlıydı. Bazen limit alırken sonucumuz hiçbir aralıkta geçerli bile olmayabilir, yine de bunları düşünmekte fayda vardır. Gerçekliği anlamada her yöntem problemlidir ve hangisinin ne zaman sorunlu olduğunu denemeden bilemeyiz.

Anlattıklarımda belki fark etmişsinizdir, satrancı örneklerimden birinde sürekli, diğerinde değilmiş gibi ele aldım. Bu konuda diğer insanlardan hiç fikir almadım ama benim düşüncem, strateji kavramının sürekli, taktiğin ise süreksiz olmasıdır. Satrançta ve benzeri oyunlarda bu ikiliğin yoğun şekilde olduğunu düşünüyorum, hatta en çok hata yapmamı sağlayan olay bundan kaynaklıdır. Bazen stratejik olarak en iyi hamle, taktiksel olarak çok kötü sonuçlar doğurabilir, bundan dolayı her hamleyi iki yönünden de incelemek gerekir.

Newton'dan öncesinde insanlar biliyor muydu bilmem ama, Antik Yunan'da süreklilik bilinmeyen bir kavramdı. Buna kanıt olarak Zenon Paradoksları'nı okumanızı tavsiye ederim, Zenon'un zaman kavramını neden saçma bulduğunu insanlara açıklamak için oluşturduğu paradokslar. Forumda da onunla ilgili başlığa sahip oluruz ilerde. Ha bir de, Zenon'un dedikleri belki ilerde doğru çıkar, zaman gerçekten doğal sayıdır (sürekliliği reel, süreksizliği doğal sayılar olarak düşünelim), ama bu söylediklerimi çok az zayıflatsa da, onları yanlışlamaz, çünkü doğal sayılar büyüdükçe reel sayılara yaklaşırlar. Mesela 17'nin kareköküne en yakın sayı olarak 4 deriz, bunda hata payı fazladır, ama 17000'in kareköküne en yakın olan doğal sayıda hata payı daha da azdır.

Etiketlendi:
kargasonsuz

Yorumlar

  • Eylül 2021 düzenlendi

    Süreklilik interagal ve türevleri çekmek için matematikte yapılan bir işlemdir. Felsefede ismine "kauzalite" denir. Türkçesi "biz bunu hep böyle yapıyorduk"dur. Yani "böyle gelmiş, böyle gider" de başka bir versiyonu. Sosyolojide bunun ismi "gelenek"tir. Yani hiç değişmeyen birbirini izleyen sanki zincirde dizili heyecansız yaşam süresi. Bunun çekici olması insanlara güven vermesinden kaynaklanır. Herkes ne yapacağını bilir.

    Enteresant olan şey "discontinue" dir. Orada bir sonraki gelecek hamlenin ne olduğunu bilemezsiniz. Bu "yeni"liğin de kaynağıdır, mesela mutasyonlardan kanser olabileceği gibi yeni türler de ortaya çıkabilir. Hayatın çeşitliliği discontinue'ye bağlıdır. Herhangi yeni birşeyin varlığı da. Denemek sürekli giden birşey yerine başka birşeyi denemek demektir. Orataya çıkabilecek şey her zaman ise yaramayabilir, ama yeniliğin kaynağı böyle.

    Limit ise doyum noktasıdır. Mesela piyasada bolca "Cola" var, yeni ortaya çıkan bir marka satış hacmini çoğaltmaz, o sadece var olan pazardan küçük bir pay alır, bu da diğerlerinin payının küçülmesine yol açar. Zenon ve diğerleri anlattıkları hikayelerin "limit"o olduğunu bilmiyorlardı. Bu Newton ve Leibniz integral hesabını bulduktan sonra fark edildi.

    Agorakargasonsuz
Yorum yapmak içinOturum Açın yada Kayıt Olun .